剑指 Offer 60. n个骰子的点数

题目描述

把n个骰子扔在地上，所有骰子朝上一面的点数之和为s。输入n，打印出s的所有可能的值出现的概率。

你需要用一个浮点数数组返回答案，其中第 i 个元素代表这 n 个骰子所能掷出的点数集合中第 i 小的那个的概率。

输入输出

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输入: 1
输出: [0.16667,0.16667,0.16667,0.16667,0.16667,0.16667]

输入: 2
输出: [0.02778,0.05556,0.08333,0.11111,0.13889,0.16667,0.13889,0.11111,0.08333,0.05556,0.02778]

基本思路

  1. 暴力破解 输入n 列出s所有可能[n, 6n] 一共(5n+1)种可能 最后按照概率相除 时间复杂度 $O(6^n)$ 爆炸

  2. 动态规划

    1. 设置dp[i][j]为投完i枚骰子之后点数j出现的次数 得状态转移方程如下：$dp[n][j]=\sum_{i=1}^{6} d p[n-1][j-i]$

    2. 边界处理：第一阶段的状态：投掷完 1 枚骰子后，它的可能点数分别为 1, 2, 3, … , 6，并且每个点数出现的次数都是 1 

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    for (int i = 1; i <= 6; i++) {
        dp[1][i] = 1;
    }
  1. 动态规划的空间优化（未知）

java实现

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// 普通动态规划
class Solution {
    public double[] dicesProbability(int n) {
        int[][] dp = new int[n+1][6*n+1];
        for(int i = 1; i <= 6; i++){
            dp[1][i] = 1;
        }
        for(int i = 2; i <= n; i++){
            for(int j = i; j <= 6*i; j++){
                for(int k = 1; k<=j&&k<=6; k++){
                    dp[i][j] += dp[i - 1][j - k];
                }
            }
        }
        double[] ans = new double[5*n+1];
        for(int i = n; i <= 6*n; i++){
            ans[i-n] = ((double)dp[n][i] / Math.pow(6,n));
        }
        return ans;

    }
}

// 优化空间复杂度 还不是很理解
class Solution {
    public double[] dicesProbability(int n) {
        int[] dp = new int[6*n+1];
        double all = Math.pow(6, n);
        for(int i = 1; i <= 6; i++){
            dp[i] = 1;
        }
        for(int i = 2; i <= n; i++){
            for(int j = i*6; j >= i; j--){
                dp[j] = 0;
                for(int k = 1; k <= 6; k++){
                    if(j-k<i-1) break;
                    dp[j] += dp[j-k];
                }
            }
        }
        double[] ans = new double[5*n+1];
        for(int i = n; i <= 6*n; i++){
            ans[i-n] = dp[i] / all;
        }
        return ans;
    }
}