剑指 Offer 14- I. 剪绳子

343. 整数拆分

题目描述

给你一根长度为 n 的绳子，请把绳子剪成整数长度的 m 段（m、n都是整数，n>1并且m>1），每段绳子的长度记为 k[0],k[1]…k[m-1] 。请问 k[0] * k[1]* … *k[m-1] 可能的最大乘积是多少？例如，当绳子的长度是8时，我们把它剪成长度分别为2、3、3的三段，此时得到的最大乘积是18。

输入输出

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输入: 2
输出: 1
解释: 2 = 1 + 1, 1 × 1 = 1

输入: 10
输出: 36
解释: 10 = 3 + 3 + 4, 3 × 3 × 4 = 36

基本思路

  1. 动态规划：dp[i]表示长度为i的绳子能得到的最大乘积，而dp[i]是绳子在区间(0,i)之间剪开的两部分乘积最大值。如果剪开位置在k处，则区间分为(0,k)和(k,i)，第一段长度为k，第二段长度为i-k，而第二段存在剪与不剪的情况，若剪，则值为dp[i-k]，否则取i-k。综上，状态转移方程为：

$$
dp[i]=max(k * dp[i-k], k * (i-k)),~~~~2<=k<=i
$$

  1. 数学解法：

    1. 解决思路基于以下两个共识

      • 将绳子 以相等的长度等分为多段 ，得到的乘积最大。

      • 尽可能将绳子以长度 3 等分为多段时，乘积最大。

    2. 数学解法切分规则：

      1. 最优：3。把绳子尽可能切为多个长度为 3 的片段，留下的最后一段绳子的长度可能为 0, 1, 2 三种情况
      2. 次优：2。若最后一段绳子长度为 2 ；则保留，不再拆为 1 + 1。
      3. 最差：1。若最后一段绳子长度为 1 ；则应把一份 3 + 1 替换为 2 + 2，因为 2 × 2 > 3 × 1。

    3. 数学解法算法流程：

      1. 当n <= 3时，按照规则应不切分，但由于题目要求必须剪成m > 1段，因此必须剪出一段长度为1的绳子，即返回 n - 1。
      2. 当n > 3 时，求n除以3的整数部分a和余数部分b（即n=3a+b），并分为以下三种情况：
        1. 当b=0时，直接返回 $3^a$
        2. 当b=1时，要将一个1+3转换为2+2，因此返回 $3^{a-1}\times4$
        3. 当b=2时，返回 $3^a \times 2$

java实现

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// 动态规划 时复O(n²) 空复O(n)
class Solution {
    public int integerBreak(int n) {
        if(n == 0) return 0;
        int[] dp = new int[n+1];
        dp[1] = 1;
        dp[2] = 1;
        for(int i = 3; i <= n; i++){
            for(int k = 1; k <= i-1; k++){
                int tmp = Math.max(k*dp[i-k], k*(i-k));
                dp[i] = Math.max(tmp, dp[i]);
            }
        }
        return dp[n];
    }
}

// 数学解法 时复O(1)[求整/求余/次方运算] 空复O(1)[变量a/b常数大小的额外空间]
class Solution {
    public int cuttingRope(int n) {
        if(n <= 3) return n - 1;
        int a = n / 3, b = n % 3;
        if(b == 0) return (int)Math.pow(3, a);
        if(b == 1) return (int)Math.pow(3, a - 1) * 4;
        return (int)Math.pow(3, a) * 2;
    }
}