剑指 Offer 63. 股票的最大利润

121. 买卖股票的最佳时机

题目描述

假设把某股票的价格按照时间先后顺序存储在数组中，请问买卖该股票一次可能获得的最大利润是多少？

输入输出

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输入: [7,1,5,3,6,4]
输出: 5
解释: 在第 2 天（股票价格 = 1）的时候买入，在第 5 天（股票价格 = 6）的时候卖出，最大利润 = 6-1 = 5 。
     注意利润不能是 7-1 = 6, 因为卖出价格需要大于买入价格。

输入: [7,6,4,3,1]
输出: 0
解释: 在这种情况下, 没有交易完成, 所以最大利润为 0。

基本思路

动态规划分析：

  • 状态定义： 设动态规划列表 dp ，dp[i] 代表以 prices[i] 为结尾的子数组的最大利润(以下简称为 前 i 日的最大利润 )

  • 转移方程： 由于题目限定 “买卖该股票一次” ，因此前 i 日最大利润 dp[i] 等于前 i - 1 日最大利润 dp[i-1] 和第 i 日卖出的最大利润中的最大值。

    $$
    前 i 日最大利润 = \max(前 (i-1) 日最大利润, 第 i 日价格 - 前 i 日最低价格)
    $$

    $$
    dp[i] = \max(dp[i - 1], prices[i] - \min(prices[0:i]))
    $$

  • 初始状态： dp[0] = 0 ，即首日利润为 0 ；

  • 返回值： dp[n - 1] ，其中 n 为 dp 列表长度。

优化：

  • 时间复杂度降低： 前 i 日的最低价格 $\min(prices[0:i])min(prices[0:i])$ 时间复杂度为 O(i) 。而在遍历 prices 时，可以借助一个变量（记为成本 cost ）每日更新最低价格。优化后的转移方程为：
    $$
    dp[i]=max(dp[i−1],prices[i]−min(cost,prices[i])
    $$

  • 空间复杂度降低： 由于 dp[i] 只与 dp[i - 1] , prices[i] , cost 相关，因此可使用一个变量（记为利润 profit ）代替 dp 列表。优化后的转移方程为：
    $$
    profit = \max(profit, prices[i] - \min(cost, prices[i])
    $$

java实现

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class Solution {
    public int maxProfit(int[] prices) {
        int profit = 0, cost = Integer.MAX_VALUE;
        for(int price:prices){
            cost = Math.min(cost, price);// 前i日的最低价格
            profit = Math.max(profit, price-cost);
        }
        return profit;
    }
}